Question

已知函數y=f（x）是二次函數，且f（0）=8，f（x+1）-f（x）=-2x+1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求證f（x）在區間[1，+∞）上是減函數．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx+c，由f（0）=8可求c，由f（x+1）-f（x）=-2x+1可構造關于a，b的方程組，可求解．
（Ⅱ）定義法證明函數的單調性，注意步驟．

解答：解：（Ⅰ）設f（x）=ax²+bx+c∴f（0）=c，又f（0）=8∴c=8
又f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）+c

∴f(x+1)-f(x) =[a(x+1)2+b(x+1)+c]-(ax2+bx+c) =2ax+(a+b)

結合已知得：2ax+（a+b）=-2x+1，
∴

2a=-2 a+b=1

∴a=-1，b=2
∴f（x）=-x²+2x+8
（Ⅱ）證明：設任意的x₁，x₂∈[1，+∞）且x₁＜x₂，

f(x1)-f(x2) =(-x12+2x1+8)-(-x22+2x2+8) =(x22-x12)+2(x 1-x2) =(x2-x1)(x2+x1-2)

又由假設知x₂-x₁＞0，而x₂＞x₁≥1
∴x₂+x₁-2＞0∴（x₂-x₁）（x₂+x₁-2）＞0
即f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在區間[1，+∞）上是減函數．

點評：本題為函數解析式的求解，單調性的證明，利用了解方程組的思想和定義法證明單調性，屬基礎題．