Question

如圖，某機(jī)場建在一個海灣的半島上，飛機(jī)跑道AB的長為4.5km，且跑道所在的直線與海岸線l的夾角為60^o(海岸線可以看作是直線)，跑道上離海岸線距離最近的點(diǎn)B到海岸線的距離BC＝4km．D為海灣一側(cè)海岸線CT上的一點(diǎn)，設(shè)CD＝x(km)，點(diǎn)D對跑道AB的視角為q．
（1）將tanq表示為x的函數(shù)；
（2）求點(diǎn)D的位置，使q取得最大值．

Answer 1

（1）；（2）點(diǎn)距點(diǎn)6km.

試題分析：（1）由圖可知，因此為了求，可通過求和，，下面關(guān)鍵要求，為止作，垂足為，這時會發(fā)現(xiàn)隨的取值不同，點(diǎn)可能在線段上，也可能在線段外，可能為銳角也可能為鈍角，這里出現(xiàn)了分類討論，作交延長線于，由已知可求出，這就是分類的分界點(diǎn)；（2）由（1）求得，要求它的最大值，可以采取兩種方法，一種是由于分子是一次，分母是二次的，可把分子作為整體，分子分母同時除以（當(dāng)然分母也已經(jīng)化為的多項(xiàng)式了），再用基本不等式求解，也可用導(dǎo)數(shù)知識求得最大值.
（1）過A分別作直線CD，BC的垂線，垂足分別為E，F(xiàn)．
由題知，AB＝4.5，BC＝4，∠ABF＝90^o－60^o＝30^o，
所以CE＝AF＝4.5×sin30^o＝，BF＝4.5×cos30^o＝，
AE＝CF＝BC＋BF＝．
因?yàn)镃D＝x(x＞0)，所以tan∠BDC＝＝．
當(dāng)x＞時，ED＝x－，tan∠ADC＝＝＝（如圖1）；

當(dāng)0＜x＜時，ED＝－x，tan∠ADC＝－＝（如圖2）．            4分
所以tanq＝tan∠ADB＝tan(∠ADC－∠BDC)＝
＝＝，其中x＞0且x≠．
當(dāng)x＝時tanq＝＝，符合上式．
所以tanq＝( x＞0)                                      8分
（2）（方法一）tanq＝＝＝，x＞0．      11分
因?yàn)?(x＋4)＋－41≥2－41＝39，
當(dāng)且僅當(dāng)4(x＋4)＝，即x＝6時取等號．
所以當(dāng)x＝6時，4(x＋4)＋－41取最小值39．
所以當(dāng)x＝6時，tanq取最大值．                                      13分
由于y＝tanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時，q取最大值．
答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大  14分
（方法二）tanq＝f(x)＝＝．
f ¢(x)＝＝－，x＞0．
由f ¢(x)＝0得x＝6．                                                      11分
當(dāng)x∈（0，6）時，f ¢(x)＞0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（6，＋∞）時，f ¢(x)＜0，此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減．
所以函數(shù)f(x)在x＝6時取得極大值，也是最大值f(6)＝．                    13分
由于y＝tanx在區(qū)間(0，）上是增函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時，q取最大值．
答：在海灣一側(cè)的海岸線CT上距C點(diǎn)6km處的D點(diǎn)處觀看飛機(jī)跑道的視角最大．  14分