Question

已知直線l被直線l₁：2x+y+1=0與l₂：x-2y-3=0截得的線段中點恰好為坐標原點．
（1）求直線l的方程；
（2）若拋物線y=ax²-1（a≠0）上總不存在關于l對稱的兩點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

（1）設l₁與l的交點P（a，-2a-1），l₂與l的交點Q（2b+3，b）
則

a+2b+3=0 -2a-1+b=0

∴b=-1，則Q（1，-1），
故l的方程為：x+y=0（6分）
（2）設拋物線上存在兩點M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）關于直線l：x+y=0對稱
設l_MN：y=x+t線段MN的中點位A（x₀，y₀）
由

y=x+t y=ax2-1

得ax²-x-t-1=0（8分）
△=1+4a（t+1）＞0①
且x^+x^=

1

a

x^x^=-

t+1

a

∴x0=

1

2a

y0=

1

2a

+t∴A(

1

2a

，

1

2a

+t)（10分）
中點A(

1

2a

，

1

2a

+t)在直線x+y=0上∴

1

2a

+

1

2a

+t=0即t=-

1

a

代入①得：a＞

3

4

即當a＞

3

4

時，拋物線上存在兩點關于直線l：x+y=0對稱，
故拋物線上不存在兩點關于直線l：x+y=0對稱時，a≤

3

4

且a≠0（14分）