Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PCD，，，，E為AD的中點，AC與BE相交于點O.

（1）證明：平面ABCD.

（2）求直線BC與平面PBD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）通過證明平面，得到，再證即可證得平面ABCD.

（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量、直線的方向向量，利用空間向量法求出線面角的正弦值.

（1）證明：平面PCD，平面，，

，為的中點，則且.

四邊形BCDE為平行四邊形，，.

又，且E為AD的中點，四邊形ABCE為正方形，，又平面，

平面，則.

平面平面，，

又，為等腰直角三角形，

O為斜邊AC上的中點，且平面ABCD.

（2）解：以O為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，如圖所示

不妨設，則,

則.

設平面PBD的法向量為，

則即

即

令，得.

設BC與平面所成角為，

則.