Question

已知中心在原點、焦點在x軸的橢圓的離心率為，且過點（，）.

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)若A,B是橢圓E的左、右頂點，直線：（）與橢圓E交于、兩點，證明直線與直線的交點在垂直于軸的定直線上，并求出該直線方程．

Answer 1

(Ⅰ)  (Ⅱ) 直線與直線的交點在定直線上

解析:

(Ⅰ)依題意，設橢圓的方程為，

由已知=．                       ①         

∵點(，)在橢圓E上，∴+=1．                ②        

由①、②及解得，，．

∴橢圓的方程為．                          ……6分

(Ⅱ)將直線：，代入橢圓方程并整理，得

，                                   

設直線與橢圓的交點，，

由根與系數的關系，得，．  ……9分         

消去得，．                               

直線的方程為：，即．

直線的方程為：，即．     ……12分

由直線與直線的方程消去得，

．

∴直線與直線的交點在定直線上．                  ……14分