Question

給出下列四個命題：
①“直線a、b為異面直線”的充分非必要條件是“直線a、b不相交”．
②“直線l⊥平面α內的所有直線”的充要條件是“l⊥α”．
③“直線a⊥b”的充分非必要條件是“a垂直于b在平面α內的射影”．
④設α⊥β，a?β，則“a∥β”的充分非必要條件是“a⊥α”．
請填出所有正確命題的序號

②④

．

Answer 1

分析：根據充要條件的定義，由異面直線的定義及空間線面關系的分類，可以判斷①的真假；根據線面垂直的性質及定義，可以判斷②的真假；根據線線垂直的判定方法，可以判斷③的真假；根據線面垂直的判定，線面平行的判定，可以判斷④的真假；進而得到答案．

解答：解：“直線a、b為異面直線”⇒“直線a、b不相交”為真命題；“直線a、b不相交”⇒“直線a、b為異面直線”為假命題，故“直線a、b為異面直線”的必要不充分條件是“直線a、b不相交”；故①錯誤；
“直線l⊥平面α內的所有直線”⇒“l⊥α”為真命題；“l⊥α”⇒“直線l⊥平面α內的所有直線”也為真命題，故“直線l⊥平面α內的所有直線”的充要條件是“l⊥α”；故②正確；
“直線a⊥b”⇒“a垂直于b在平面α內的射影”為假命題；“a垂直于b在平面α內的射影”⇒“直線a⊥b”為假命題，故“直線a⊥b”的非充分非必要條件是“a垂直于b在平面α內的射影”；故③錯誤；
當α⊥β，a?β，“a∥β”⇒“a⊥α”為假命題；“a⊥α”⇒“a∥β”為真命題，故當α⊥β，a?β時，“a∥β”的充分非必要條件是“a⊥α”；故④正確；
故答案為：②④

點評：本題考查的知識點是平面的基本性質及推論，空間直線與平面，直線與直線，平面與平面位置關系的判斷，其中熟練掌握空間線面關系的判定方法及幾何特征是解答本題的關鍵，另外，本題的一個易錯題，第一易忽略P是Q的充分不必要條件與P的充分不必要條件是Q之間的區別，二是易忽略三垂線定理中a?α的限制，而誤判斷③正確．