Question

（2013•東莞二模）設S_n為數列{a_n}前n項和，對任意的n∈N^*，都有S_n=2-a_n，數列{b_n}滿足bn=

bn-1

1+bn-1

，b₁=2a₁，
（1）求證：數列{a_n}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數列{b_n}的通項公式；
（3）求數列{

1

an+2bn

}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，由a₁=S₁=2-a₁，可求a₁，n≥2時，由a_n=S_n-S_n-1，可得a_n=與a_n-1之間的遞推關系，結合等比數列的通項公式可求a_n
（2）由bn=

bn-1

1+bn-1

，可得

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)，結合等差數列的通項公式可求

1

bn

，進而可求b_n
（3）由（1）（2）可求

1

an+2bn

，利用錯位相減求和即可求解

解答：（本小題滿分14分）
證明：（1）當n=1時，a₁=S₁=2-a₁，解得a₁=1．                                …（1分）
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=a_n-1-a_n，即2a_n=a_n-1．
∴

an

an-1

=

1

2

(n≥2)．                                                   …（2分）
∴數列{a_n}是首項為1，公比為

1

2

的等比數列，即an=(

1

2

)n-1，n∈N*．     …（4分）
解：（2）b₁=2a₁=2．                                                           …（5分）
∵bn=

bn-1

1+bn-1

，
∴

1

bn

=

1

bn-1

+1，即

1

bn

-

1

bn-1

=1(n≥2)．                  …（6分）
∴{

1

bn

}是首項為

1

2

，公差為1的等差數列．                                 …（7分）
∴

1

bn

=

1

2

+(n-1)•1=

2n-1

2

，bn=

2

2n-1

…（8分）
（3）∵an+2=(

1

2

)n+1，bn=

2

2n-1

則

1

an+2bn

=2n(2n-1)．             …（9分）
所以Tn=

22

b1

+

23

b2

+

24

b3

+…+

2n

bn-1

+

2n+1

bn

，…（10分）
即Tn=21×1+22×3+23×5+…+2n-1×(2n-3)+2n×(2n-1)，①…（11分）
則2Tn=22×1+23×3+24×5+…+2n×(2n-3)+2n+1×(2n-1)，②…（12分）
②-①得Tn=2n+1×(2n-1)-2-23-24-…-2n+1，…（13分）
故Tn=2n+1×(2n-1)-2-

23(1-2n-1)

1-2

=2n+1×(2n-3)+6．                …（14分）

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式求解數列的通項公式、等差數列與等比數列的通項公式的應用，還考查了錯位相減求和方法的應用