Question

【題目】如圖所示，菱形與正方形所在平面相交于.

（1）求作平面與平面的交線，并說明理由；

（2）若與垂直且相等，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）過點(diǎn)作的平行線，理由見解析；（2）.

【解析】

（1）過點(diǎn)作的平行線，然后證明與平行，證明四邊形為平行四邊形即可；

（2）取的中點(diǎn)，以其為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量坐標(biāo)法求解即可.

解：（1）過點(diǎn)作的平行線即可，下面予以證明.

由已知易得，和都與平行且相等，即與平行且相等.

所以四邊形是平行四邊形，于是.

又平面，且平面，平面.

又平面，且平面，.

（2）由，且，得平面.

由可得，是正三角形.

取的中點(diǎn)，則.

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則，，，.

，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量

，即，

令，則，

得平面的一個(gè)法向量

設(shè)平面的一個(gè)法向量

，即，

令，則，

得平面的一個(gè)法向量.

所以.

故二面角余弦值為.