Question

已知（1+2

x

）ⁿ展開式中某項的系數恰為它的前一項系數的2倍，而等于它后一項系數的

5

6

，求該展開式中二項式系數最大的項．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出相鄰三項的系數，據題意，列出方程，利用組合數公式先求出n的值；再設系數最大的項為第s+1項，令它的系數大于等于第s項的系數同時大于等于第s+1項的系數，列出不等式組，利用組合數公式求出s的值，求出二項式展開式中系數最大的項．

解答：解：根據題意，設該項為第r+1項，則有

C r n 2r=2 C r-1 n 2r-1 C r n 2r= 5 6 C r+1 n 2r+1

即

C r n = C r-1 n C r n = 5 3 C r+1 n

亦即

n=2r-1 n! r!(n-r)! = 5 3 n! (r+1)!(n-r-1)!

解得

r=4 n=7.

，∴n=7．
設第s+1項系數最大，則有

C s 7 2s≥ C s-1 7 2s-1 C s 7 2s≥ C s+1 7 2s+1

即

2 C s 7 ≥ C s-1 7 C s 7 ≥2 C s+1 7

亦即

2 7! s!(7-s)! ≥ 7! (s-1)!(7-s+1)! 7! s!(7-s)! ≥2 7! (s+1)!(7-s-1)!

解得

2 s ≥ 1 8-s 1 7-s ≥ 2 s+1

，

13

3

≤s≤

16

3

，∴s=5
∴二項式展開式中系數最大的項為T₆=672x  

5

2

．

點評：本題以二項展開式的通項為載體，考查二項展開式的通項公式的運用，求展開式的特殊項問題時采用二項展開式的通項公式、二項展開式的系數最大的項的求法是設出系數最大的項，令該項的系數大于等于它前一項的系數同時等于等于它后一項的系數．