Question

已知函數的圖象為曲線C，函數的圖象為直線l．
（Ⅰ） 設m＞0，當x∈（m，+∞）時，證明：
（Ⅱ） 設直線l與曲線C的交點的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁≠x₂，求證：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

證明：（1）令H（x）=（x+m）ln﹣2（x﹣m），x∈（m，+∞），
則H（m）=0，
要證明（x+m）ln﹣2（x﹣m）＞0，
只需證H（x）=（x+m）ln﹣2（x﹣m）＞H（m），
∵H′（x）=ln+﹣1，
令G（x）=ln+﹣1，G′（x）=﹣，
由G′（x）=＞0得，x＞m，
∴G（x）在x∈（m，+∞）單調遞增，
∴G（x）＞G（m）=0
H'（x）＞0，H（x）在x∈（m，+∞）單調遞增．
H（x）＞H（m）=0，
∴H（x）=（x+m）ln﹣2（x﹣m）＞0，
（2）不妨設0＜x₁＜x₂，
要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，
只需證（x₁+x₂）[a（x₁+x₂）+b]＞2，
只需證（x₁+x₂）[a+bx₂﹣（a+bx₁）]＞2（x₂﹣x₁），
∵=ax₁+b，=ax₂+b，
即（x₁+x₂）ln＞2（x₂﹣x₁）（*），
而由（1）知（*）成立．
所以（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2