Question

（本小題滿分14分）

　　已知：函數（），．

　　（1）若函數圖象上的點到直線距離的最小值為，求的值；

　　（2）關于的不等式的解集中的整數恰有3個，求實數的取值范圍；

　　（3）對于函數與定義域上的任意實數，若存在常數，使得不等式和都成立，則稱直線為函數與的“分界線”。設，，試探究與是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2）

（3）所求“分界線”方程為：．

【解析】解：

　　（1）因為，所以，令

　　　　 得：，此時，

　　　　 則點到直線的距離為，

　　　　 即，解之得或．　

　　　　 經檢驗知，為增解不合題意，故

　　（2）法一：不等式的解集中的整數恰有3個，

　　　　 　　　等價于恰有三個整數解，故，

　　　　 　　　令，由且，

　　　　 　　　所以函數的一個零點在區間，

　　　　 　　　則另一個零點一定在區間，

　　　　 　　　故解之得．

　　　　 法二：恰有三個整數解，故，即，

　　　　　　　 ，

　　　　　　 　所以，又因為，

　　　　　　 　所以，解之得．

　　（3）設，則．

　　　　 所以當時，；當時，．

　　　　 因此時，取得最小值，

　　　　 則與的圖象在處有公共點．　　　　　　　

　　　　 設與存在 “分界線”，方程為，

　　　　 即，

　 由在恒成立，則在恒成立 ．

　 所以成立，因此．

　　　　 下面證明恒成立．

　　　　 設，則．

　　　　 所以當時，；當時，．

　　　　 因此時取得最大值，則成立．

　　　　 故所求“分界線”方程為：．