Question

已知在平面直角坐標系xOy中的一個橢圓，它的中心在原點，左焦點為，右頂點為D（2，0），設點．
（Ⅰ）求該橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若P是橢圓上的動點，求線段PA中點M的軌跡方程；
（Ⅲ）是否存在直線l，滿足l過原點O并且交橢圓于點B、C，使得△ABC面積為1？如果存在，寫出l的方程；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距c=，則半短軸b=1，…（1分）
又橢圓的焦點在x軸上，∴橢圓的標準方程為．…（2分）
（Ⅱ）設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是（x₀，y₀），由得x₀=2x-1，且．…（4分）
由點P在橢圓上，得，
∴線段PA中點M的軌跡方程是．…（6分）
（Ⅲ）當直線BC垂直于x軸時，線段BC的長為2，因此△ABC的面積S_△ABC=1滿足l的條件．當直線BC不垂直于x軸時，設直線方程為y=kx（k∈R），代入，解得
B（，），C（-，-），則．…（8分）
又點A到直線BC的距離d=，∴△ABC的面積S_△ABC=．…（10分）
于是S_△ABC==1，得=0，所以k=0．
∴直線l存在，其方程為x=0和y=0．…（12分）
分析：（Ⅰ）由左焦點為 ，右頂點為D（2，0），得到橢圓的半長軸a，半焦距c，再求得半短軸b，最后由橢圓的焦點在x軸上求得方程．
（II）由于線段PA中點M隨著P的變動而變動，故只需求出兩動點之間的坐標關系，利用P再橢圓上即可求得線段PA中點M的軌跡方程
（Ⅲ）當直線BC垂直于x軸時，線段BC的長為2，因此△ABC的面積S_△ABC=1滿足l的條件．當直線BC不垂直于x軸時，設直線方程為y=kx（k∈R），代入，求得B，C的坐標，從而求得BC長，利用點到直線的距離公司可求點A到直線BC的距離，從而可求△ABC的面積，進而可求k及直線l的方程．
點評：本題以橢圓的性質為載體，考查橢圓的標準方程，考查代入法求軌跡方程，同時考查了直線與橢圓的位置關系，代入法求軌跡方程解題的關鍵是尋找動點之間的坐標關系．