Question

【題目】已知f（x）=2x2+bx+c．
（1）對任意x∈[﹣1，1]，f（x）的最大值與最小值之差不大于6，求b的取值范圍；
（2）若f（x）=0有兩個不同實根，f（f（x））無零點，求證： ﹣ ＞1．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x2+bx+c= +c﹣ ，x∈[﹣1，1]．

①當﹣ ≤﹣1，即b≥4時，函數f（x）在x∈[﹣1，1]單調遞增，∴f（1）﹣f（﹣1）≤6，化為：b≤3，舍去；

②當﹣ ≥1，即b≤﹣4時，函數f（x）在x∈[﹣1，1]單調遞減，∴f（﹣1）﹣f（1）≤6，化為：b≥﹣3，舍去；

③當﹣1＜﹣ ＜1，即﹣4＜b＜4時，函數f（x）在 內單調遞減，在 內單調遞增，∴f（x）min=c﹣ ．

∵f（1）﹣f（﹣1）=2b，當0≤b＜4時，f（x）max=f（1）=2+b+c，則2+b+c﹣ ≤6，解得0≤b≤ ．

當﹣4＜b＜0時，f（x）max=f（﹣1）=2﹣b+c，則2﹣b+c﹣ ≤6，解得 ≤b＜0．

綜上可得：b的取值范圍是

（2）證明：f（x）=2x2+bx+c=0有兩個不同實根，∴△=b2﹣8c＞0．

可得此方程的兩個實數根：x1= ，x2= ．

要使f（f（x））無零點，則方程f（x）=x1，f（x）=x2，均無解．

∵x1＞x2，∴f（x）=2x2+bx+c的最小值c﹣ ＞x1= ，即b2﹣8c+2 +1＜2b+1，

∴ ＜2b+1，∴ +1＜ ．

∴ ﹣ ＞1

【解析】（1）f（x）=2x2+bx+c= +c﹣ ，x∈[﹣1，1]．對b分類討論，利用二次函數的單調性即可得出．（2）f（x）=2x2+bx+c=0有兩個不同實根，可得△＞0．可得此方程的兩個實數根：x1= ，x2= ．要使f（f（x））無零點，則方程f（x）=x1 ， f（x）=x2 ， 均無解．由于x1＞x2 ， 可得f（x）=2x2+bx+c的最小值c﹣ ＞x1 ， 化簡整理即可證明．