Question

A為橢圓

x2

25

+

y

9

2=1上任一點，B為圓（x-1）²+y²=1上任一點，則AB的最大值為

 

，最小值為

 

．

Answer 1

分析：求出已知圓的圓心為C（1，0），半徑r=1．設A（5cosα，3sinα），利用兩點的距離公式算出AC關于cosα的表達式，根據二次函數的性質和cosα的范圍算出AC的最小值為

3 15

4

、最大值為6，再利用圓的性質即可求出AB的最大值和最小值．

解答：解：圓（x-1）²+y²=1的圓心為C（1，0），半徑r=1，
設A（5cosα，3sinα），
可得AC=

(5cosα-1)2+9sin2α

=

16cos2α-10cosα+10

，
∵cosα∈[-1，1]，
∴t=16cos²α-10cosα+10在cosα=

5

16

是有最小值

135

16

；在cosα=-1是有最大值36
可得AC的最小值為

135 16

=

3 15

4

，最大值為

36

=6，
∵A為橢圓

x2

25

+

y

9

2=1上任一點，B為圓（x-1）²+y²=1上任一點，
∴AB的最小值為

3 15

4

-1，最大值為6+1=7．
故答案為：7，

3 15

4

-1

點評：本題給出橢圓和圓上的兩點A、B，求AB的最大最小值，著重考查了橢圓的參數方程、圓的性質、兩點間的距離公式和二次函數求閉區間上的最值等知識，屬于中檔題．