Question

設數列{a_n}前n的項和為S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為常數，m≠-3且m≠0
（1）求證：{a_n}是等比數列；
（2）若數列{a_n}的公比滿足q=f（m）且b1=a1=1，bn=

3

2

f(bn-1)（n∈N^*，n≥2），求證{

1

bn

}為等差數列，并求b_n．

Answer 1

分析：（1）根據所給的關系式（3-m）S_n+2ma_n=m+3，仿寫一個關系式，兩式相減，減掉了前n項和的形式，變成數列的遞推式，得到連續兩項的比值等于常數，證出是一個等比數列．
（2）根據所給的關于數列的關系式，看清題目的發展方向是求通項的倒數是一個等差數列，需要把關系式兩邊同時除以連續兩項的積，得到結論，寫出通項．

解答：解：（1）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3，得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，
兩式相減，得（3+m）a_n+1=2ma_n，（m≠-3）
∴

an+1

an

=

2m

m+3

，
∴{a_n}是等比數列．
（2）由b₁=a₁=1，q=f（m）=

2m

m+3

，
n∈N且n≥2時，b_n=

3

2

f（b_n-1）=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

得
b_nb_n-1+3b_n=3b_n-1⇒

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

．
∴{

1

bn

}是1為首項

1

3

為公差的等差數列，
∴

1

bn

=1+

n-1

3

=

n+2

3

，故有b_n=

3

n+2

．

點評：本題考查有遞推式求通項，這是數列中常見的一種題目，在解題時注意要求證明數列是等比數列或等差數列，需要按照數列的定義來看題目的思路．