Question

（2012•吉安二模）若A為拋物線y=

1

4

x2的頂點，過拋物線焦點的直線交拋物線于B、C兩點，則

AB

•

AC

等于

-3

．

Answer 1

分析：題意可得，A（0，0），拋物線的焦點（0，1），則可得直線BC的方程為：y=kx+1
聯立方程

y=kx+1 y= 1 4 x2

可得

1

4

x2-kx-1=0設A（x₁，y₁）B（x₁，y₁），

AB

•

AC

=x1x2+y1y2，根據方程的根與系數的關系可求

解答：解：題意可得，A（0，0），拋物線的焦點（0，1）
則可得直線BC的方程為：y=kx+1
聯立方程

y=kx+1 y= 1 4 x2

可得

1

4

x2-kx-1=0
設A（x₁，y₁）B（x₁，y₁），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，y₁y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1

AB

•

AC

=x1x2+y1y2=（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+1=-4（1+k²）+k•4k+1=-3
故答案為：-3

點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關系的應用，處理的一般思路是聯立方程，根據方程的根與系數的關系進行求解．