Question

已知f（x）是定義在R上且以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)0≤x≤1，f（x）=x²．如果函數(shù)g（x）=f（x）-（x+m）有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的值為（　　）

• A．2k（k∈Z）
• B．2k或2k+

  1

  4

  （k∈Z）
• C．0
• D．2k或2k-

  1

  4

  （k∈Z）

Answer 1

分析：利用函數(shù)是周期為2的偶函數(shù)，作出函數(shù)y=f（x）的圖象，利用直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想求m的值．

解答：解：由g（x）=f（x）-（x+m）=0得f（x）=（x+m）．設(shè)y=f（x），y=x+m．
因?yàn)閒（x）是定義在R上且周期為2的偶函數(shù)，所以當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，f（x）=x²．
①由圖象可知當(dāng)直線y=x+m經(jīng)過點(diǎn)O（0，0）時(shí)，直線y=x+a與y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)m=0，由于函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，所以當(dāng)m=2k時(shí)（k∈Z），
直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
②由圖象可知直線y=x+m與f（x）=x²相切時(shí)，直線y=x+m與曲線y=f（x）也恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
f'（x）=2x，由f'（x）=2x=1，解得x=

1

2

，所以y=

1

4

，即切點(diǎn)為（

1

2

，

1

4

），
代入直線y=x+m得m=-

1

4

．
由于函數(shù)f（x）是周期為2的函數(shù)，所以當(dāng)m=2k-

1

4

時(shí)（k∈Z），直線y=x+m與曲線y=f（x）恰有兩個(gè)公共點(diǎn)．
綜上滿足條件的實(shí)數(shù)m的值為m=2k或m=2k-

1

4

時(shí)（k∈Z）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了兩個(gè)曲線的交點(diǎn)問題，要充分利用函數(shù)的周期性，利用數(shù)形結(jié)合的思想去解決，綜合性較強(qiáng)．