Question

已知函數f（x）=ax³+bx²-3x（a，b∈R）在點（1，f（1））處的切線方程為y+2=0．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂都有|f（x₁）-f（x₂）|≤c，求實數c的最小值；
（3）若過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，利用導函數的幾何含義及切點的實質建立a，b的方程，然后求解即可；
（2）由題意，對于定義域內任意自變量都使得|f（x₁）-f（x₂）|≤c，可以轉化為求函數在定義域下的最值即可得解；
（3）由題意，若過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，等價與函數在切點處導函數值等于切線的斜率這一方程有3解．

解答：解：（1）f'（x）=3ax²+2bx-3．（2分）
根據題意，得

f(1)=-2 f′(1)=0

即

a+b-3=-2 3a+2b-3=0

解得

a=1 b=0

所以f（x）=x³-3x．
（2）令f'（x）=0，即3x²-3=0．得x=±1．
當x∈（-∞，-1）時，f^′（x）＞0，函數f（x）在此區間單調遞增；
當x∈（-1，1）時，f^′（x）＜0，函數f（x）在此區間單調遞減
因為f（-1）=2，f（1）=-2，
所以當x∈[-2，2]時，f（x）_max=2，f（x）_min=-2．
則對于區間[-2，2]上任意兩個自變量的值x₁，x₂，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|f（x）_max-f（x）_min|=4，所以c≥4．
所以c的最小值為4．
（3）因為點M（2，m）（m≠2）不在曲線y=f（x）上，所以可設切點為（x₀，y₀）．
則y₀=x₀³-3x₀．
因為f'（x₀）=3x₀²-3，所以切線的斜率為3x₀²-3．
則3x₀²-3=

x 3 0 -3x0-m

x0-2

，
即2x₀³-6x₀²+6+m=0．
因為過點M（2，m）（m≠2）可作曲線y=f（x）的三條切線，
所以方程2x₀³-6x₀²+6+m=0有三個不同的實數解．
所以函數g（x）=2x³-6x²+6+m有三個不同的零點．
則g'（x）=6x²-12x．令g'（x）=0，則x=0或x=2．
當x∈（-∞，0）時，g^′（x）＞0，函數g（x）在此區間單調遞增；當x∈（0，2）時，g^′（x）＜0，函數g（x）在此區間單調遞減；
所以，函數g（x）在x=0處取極大值，在x=2處取極小值，有方程與函數的關系知要滿足題意必須滿足：

g(0)＞0 g(2)＜0

，即

6+m＞0 -2+m＜0

，解得-6＜m＜2．

點評：（1）此題重點考查了導數的幾何含義及函數切點的定義，還考查了數學中重要的方程的思想；
（2）此題重點考查了數學中等價轉化的思想把題意最總轉化為求函數在定義域下的最值；
（3）此題重點考查了數學中導數的幾何含義，還考查了函數解的個數與相應方程的解的個數的關系．