Question

【題目】已知函數(shù)，．

（1）若.

（ⅰ）求曲線在點處的切線方程；

（ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的極大值的個數(shù)．

（2）若在內(nèi)單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）1；（2）．

【解析】

（1）（ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，得到與，利用點斜式得到直線的方程；（ⅱ）研究函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)性，結(jié)合極值的定義得到答案；

（2）由題可知，其中，分兩類情況：與，

結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性與極值即可得到實數(shù)的取值范圍．

（1）（ⅰ）因為，

所以，．

又因為，

所以曲線在點處的切線方程為，

化簡得．

（ⅱ）當時，，單調(diào)遞增，此時無極大值．

當時，設(shè)，則，

所以在內(nèi)單調(diào)遞減．

又因為， ，

所以在內(nèi)存在唯一的，使得．

當變化時，，的變化如下表

		0
	↗		↘

所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，此時有唯一極大值．

綜上所述，在內(nèi)的極大值的個數(shù)為．

（2） 由題可知，其中．

當時，，故在內(nèi)單調(diào)遞減；

下面設(shè)．

對于，，且，

所以．

所以當時，．

設(shè)，，

則．

所以在上單調(diào)遞減．

， ．

當時，即時，，對，，

所以，在內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題意．

當時，即時，，，

所以，使，

因為在內(nèi)單調(diào)遞減，

所以對，，所以．

所以在內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題意．

所以當時，在內(nèi)不單調(diào)遞減．

綜上可得，

故的取值范圍為．