【題目】如圖，直三棱柱
中，
，
，點
在線段
上.
（1）若
是
中點，證明：
平面
；
（2）當
時，求直線
與平面
所成角的正弦值。
【答案】（1）詳見解析（2）
【解析】
試題分析：（1）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行的尋找與論證，往往需要結合平幾知識，如本題利用三角形中位線性質得線線平行（2）求線面角，一般利用空間向量進行計算，先根據題意建立恰當的空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求出面的法向量，再根據向量數量積求出向量夾角，最后根據線面角與向量夾角互余的關系求解.
試題解析：（Ⅰ）證明：連結BC1，交B1C于E，連結ME．
因為 直三棱柱ABC-A1B1C1，M是AB中點，所以側面BB1C1C為矩形，
ME為△ABC1的中位線，所以ME//AC1．
因為ME
平面B1CM，AC1
平面B1CM，所以AC1∥平面B1C
（II）
,故如圖建立空間直角坐標系
,
,
令平面
的法向量為
由
，得
設
所以
,
設直線
與平面所成角為
故當
時，直線與平面所成角的正弦值為.
快樂小博士鞏固與提高系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知拋物線
，過其焦點
作兩條相互垂直且不平行于坐標軸的直線，它們分別交拋物線
于點
、
和點
、
，線段
、
的中點分別為
、
.
（Ⅰ）求線段的中點的軌跡方程；
（Ⅱ）求
面積的最小值；
（Ⅲ）過、的直線
是否過定點?若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3 000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.
（1）當每輛車的月租金定為3 600元時，能租出多少輛車？
（2）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月收益是多少？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為了參加市高中籃球比賽，某中學決定從四個籃球較強的班級的籃球隊員中選出
人組成男子籃球隊，代表該地區參賽，四個籃球較強的班級籃球隊員人數如下表：
班級 | 高三（7）班 | 高三（17）班 | 高二（31）班 | 高二（32）班 |
人數 | 12 | 6 | 9 | 9 |
（1）現采取分層抽樣的方法從這四個班中抽取運動員，求應分別從這四個班抽出的隊員人數；
（2）該中學籃球隊奮力拼搏，獲得冠軍.若要從高三年級抽出的隊員中選出兩位隊員作為冠軍的代表發言，求選出的兩名隊員來自同一班的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
（1）若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程．
（2）點P在直線l：2x－4y＋3＝0上，過點P作圓C的切線，切點記為M，求使|PM|最小的點P的坐標．
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