Question

【題目】已知，設函數.

（1）當時，求的極值點；

（2）討論在區間上的單調性；

（3）對任意恒成立時， 的最大值為1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）是的極小值點，無極大值點;（2）見解析;（3）.

【解析】【試題分析】（１）先求導數，再解方程求導函數的零點；（２）運用導數與函數的單調性之間的關系分析探求；（３）先將不等式進行等價轉化，再分離參數，構造函數運用導數知識求解：

（1）當時， ，∴，令，則，當時， ；當時， ，所以是的極小值點，無極大值點.

（2），

①當時， 在， 上單調遞增；在上單調遞減，

②當時， 在上單調遞增.

③當時， 在， 上單調遞增；在上單調遞減

④當時， 在上單調遞增，在上單調遞減.

（3）∵， 。由得

對任意恒成立，即

對任意恒成立.

令， ，根據題意，可以知道的最大值為1，則 恒成立.

由于，則.

當時， ，令，則，令，得，則在上單調遞減，在上單調遞增，則，∴在上單調遞增.

從而，滿足條件，故的取值范圍是.