Question

（2012•肇慶二模）“肇實(shí)，正名芡實(shí)，因肇慶所產(chǎn)之芡實(shí)顆粒大、藥力強(qiáng)，故名．”某科研所為進(jìn)一步改良肇實(shí)，為此對(duì)肇實(shí)的兩個(gè)品種（分別稱為品種A和品種B）進(jìn)行試驗(yàn)．選取兩大片水塘，每大片水塘分成n小片水塘，在總共2n小片水塘中，隨機(jī)選n小片水塘種植品種A，另外n小片水塘種植品種B．
（1）假設(shè)n=4，在第一大片水塘中，種植品種A的小片水塘的數(shù)目記為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）試驗(yàn)時(shí)每大片水塘分成8小片，即n=8，試驗(yàn)結(jié)束后得到品種A和品種B在每個(gè)小片水塘上的每畝產(chǎn)量（單位：kg/畝）如下表：

號(hào)碼	1	2	3	4	5	6	7	8
品種A	101	97	92	103	91	100	110	106
品種B	115	107	112	108	111	120	110	113

分別求品種A和品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差；根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，你認(rèn)為應(yīng)該種植哪一品種？

Answer 1

分析：（1）ξ可能的取值為0，1，2，3，4．分別求出P（ξ=0），P（ξ=1），P（ξ=2），P（ξ=3），P（ξ=4），由此能求出ξ的分布列和ξ的數(shù)學(xué)期望．
（2）分別算出品種A的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差以及品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差，由此知應(yīng)該選擇種植品種B．

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）ξ可能的取值為0，1，2，3，4．（1分）
P(ξ=0)=

1

C 4 8

=

1

70

，
P(ξ=1)=

C 1 4 C 3 4

C 4 8

=

16

70

，
P(ξ=2)=

C 2 4 C 2 4

C 4 8

=

36

70

，
P(ξ=3)=

C 3 4 C 1 4

C 4 8

=

16

70

，
P(ξ=4)=

1

C 4 8

=

1

70

，
即ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4
P	1 70	16 70	36 70	16 70	1 70

（4分）ξ的數(shù)學(xué)期望為E(ξ)=0×

1

70

+1×

16

70

+2×

36

70

+3×

16

70

+4×

1

70

=2（6分）
（2）品種A的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

.

x

A=

1

8

(101+97+92+103+91+100+110+106)=100（7分）sA2=

1

n

(1+32+82+32+92+0+102+62)≈37.4（8分）
品種B的每畝產(chǎn)量的樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：

.

x

B=

1

8

(115+107+112+108+111+120+110+113)=112（9分）
sB2=

1

n

(32+52+0+42+1+82+22+1)≈14.7（10分）
由以上結(jié)果可以看出，品種B的樣本平均數(shù)大于品種A的樣本平均數(shù)，
且品種B的樣本方差小于品種A，
故應(yīng)該選擇種植品種B．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意統(tǒng)計(jì)知識(shí)的靈活運(yùn)用．