Question

已知分別是橢圓的左、右頂點，點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，已知是橢圓上不同于頂點的兩點，直線與交于點，直線與交于點．① 求證：；② 若弦過橢圓的右焦點，求直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）①見解析；②.

試題分析：（Ⅰ）根據點在橢圓上，且直線與直線的斜率之積為，列出方程組即可求出和；（Ⅱ）①欲證：，只需證：，找到這個結論成立的條件，然后證明這些條件滿足即可；②分成和直線斜率存在兩種情況，利用經過這一條件，把問題變成直線與橢圓的交點，從而可以借助一元二次方程跟與系數的關系解題.
試題解析：（Ⅰ）由題，，由點在橢圓上知，則有：
，①
又，                   ②
以上兩式可解得，．所以橢圓．                4分
（Ⅱ）① 設，則直線：、直線：，
兩式聯立消去得：；
同理：直線：、：，聯立得：．  6分
欲證：，只需證：，只需證：，
等價于：，
而，，所以，
故有：．                                 9分
② (1)當時，由可求得：；             10分
(2)當直線斜率存在時，設：，

由（Ⅱ）知：，
將，代入上式得：，
解得，由①知．
綜合(1) (1)，，故直線：．                      14分.