Question

（本小題滿分12分）設函數f（x）的定義域是R，對于任意實數m,n，恒有f（m+n）=f（m）f（n），且當x>0時，0<f（x）<1。
（1）求證：f（0）=1，且當x<0時，有f（x）>1；
（2）判斷f（x）在R上的單調性；
⑶設集合A＝{（x,y）|f（x²）f（y²）>f（1）}，集合B＝{（x,y）|f（ax－y+2）=1,a∈R}，若A∩B＝，求a的取值范圍。

Answer 1

解：⑴f（m+n）=f（m）f（n），令m=1,n=0，則f（1）=f（1）f（0），且由x>0時，0<f（x）<1，∴f（0）=1；設m=x<0，n=－x>0，∴f（0）=f（x）f（－x），∴f（x）＝>1。……………4分
⑵設x₁<x₂，則x₂－x₁>0，∴0<f（x₂－x₁）<1，∴f（x₂）－f（x₁）＝f[（x₂－x₁）+x₁]－f（x₁）＝f（x₂－x₁）f（x₁）－f（x₁）＝f（x₁）[f（x₂－x₁）－1]<0，∴f（x）在R上單調遞減。……………8分
⑶∵f（x²）f（y²）>f（1），∴f（x²+y²）>f（1），由f（x）單調性知x²+y²<1，又f（ax－y+2）=1=f（0），
∴ax－y+2=0，又A∩B＝，∴，∴a²+1≤4，從而。……12分

略