Question

已知集合A＝{x|x²＋4x＝0}，集合B＝{x|x²＋2(a＋1)x＋a²－1＝0}，其中x∈R．

(1)若A∩B＝B，求實數a的取值范圍；

(2)若A∪B＝B，求實數a的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)易知A＝{0，－4}， 　　又A∩B＝B，即AB， 　　∴B＝或{0}或{－4}或{0，－4}． 　　①當B＝時，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0無實數解， 　　∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0， 　　解得a＜－1． 　　②當B＝{0}或{－4}時，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個相等實數根， 　　∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，得a＝－1，此時B＝{0}，滿足題意． 　　③當B＝{－4，0}時，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩個不相等實數根－4，0， 　　則－2(a＋1)＝－4＋0且a2－1＝0， 　　解得a＝1，此時B＝{x|x2＋4x＝0}＝{－4，0}，滿足題意． 　　綜上可知，a≤－1或a＝1． 　　(2)由已知得A＝{0，－4}． 　　又A∪B＝B，即AB． 　　又∵B為二次方程解集，其中最多有2個元素， 　　∴B＝{0，－4}，即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0有兩根為0和－4． 　　由(1)知a＝1．