Question

【題目】設an＝1＋＋=＋…＋(n∈N*)，是否存在一次函數g(x)，使得a1＋a2＋a3＋…＋an－1＝g(n)(an－1)對n≥2的一切正整數都成立？并試用數學歸納法證明你的結論．

Answer 1

【答案】g(n)＝n，見解析

【解析】試題分析：假設存在一次函數g(x)＝kx＋b(k≠0)，依題意可得k=1,b=0,故猜想g(x)=x;然后用數學歸納法加以證明。

試題證明：假設存在一次函數g(x)＝kx＋b(k≠0)，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(an－1)對n≥2的一切正整數都成立，

則當n＝2時，a1＝g(2)(a2－1)，

又∵a1＝1，a2＝1＋，∴g(2)＝2，即2k＋b＝2；①

當n＝3時，a1＋a2＝g(3)(a3－1)，

又∵a1＝1，a2＝1＋，a3＝1＋＋，

∴g(3)＝3，即3k＋b＝3，②

由①②可得k＝1，b＝0，

所以猜想：存在g(n)＝n，

使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n) (n≥2，n∈N*)成立．

下面用數學歸納法加以證明：

(1)當n＝2時，猜想成立；

(2)假設當n＝k(k≥2，k∈N*)時，猜想成立，即存在g(k)＝k，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(k)(－1)對k≥2的一切正整數都成立，則

當n＝k＋1時，a1＋a2＋a3＋…＋＝(a1＋a2＋a3＋…＋)＋＝＋＝(k＋1)－k，

又∵＝1＋＋＋…＋＋＝＋，

∴＝－，

∴a1＋a2＋a3＋…＋＝(k＋1)(－)－k

＝(k＋1)(－1)，

∴當n＝k＋1時，猜想也成立.

由(1)(2)可知，對于一切n(n≥2，n∈N*)有g(n)＝n，使得a1＋a2＋a3＋…＋＝g(n)(－1)都成立．