Question

【題目】退休年齡延遲是平均預期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢．某機構為了解某城市市民的年齡構成，按的比例從年齡在20～80歲(含20歲和80歲)之間的市民中隨機抽取600人進行調查，并將年齡按進行分組，繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．規定年齡在歲的人為“青年人”，歲的人為“中年人”， 歲的人為“老年人”．

(Ⅰ)根據頻率分布直方圖估計該城市60歲以上(含60歲)的人數，若每一組中的數據用該組區間的中點值來代表，試估算所調查的600人的平均年齡；

(Ⅱ)將上述人口分布的頻率視為該城市年齡在20～80歲的人口分布的概率，從該城市年齡在20～80歲的市民中隨機抽取3人，記抽到“老年人”的人數為，求隨機變量的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】(1) 48(2)見解析

【解析】

試題

（1）由頻率分布直方圖計算出60歲以上（含60歲）的頻率，從而計算出所抽取的600人中老年人的人數，再除以1%可得總的老年人數，用每個區間的中間值乘以相應的頻率再求和可得估計值；

（2）由頻率分布直方圖知，“老年人”所占的頻率為，所以從該城市年齡在20～80歲的市民中隨機抽取1人，抽到“老年人”的概率為，又X的所有可能取值為0,1,2,3，由二項分布概率公式可計算出各個概率，得分布列，再由期望公式可計算出期望.

試題解析：

(1)由頻率分布直方圖可知60歲以上(含60歲)的頻率為(0．01＋0．01)×10＝0．2，故樣本中60歲以上(含60歲)的人數為600×0．2＝120，故該城市60歲以上(含60歲)的人數為120÷1%＝12 000．所調查的600人的平均年齡為

25×0．1＋35×0．2＋45×0．3＋55×0．2＋65×0．1＋75×0．1＝48(歲)．

(2)由頻率分布直方圖知，“老年人”所占的頻率為，

所以從該城市年齡在20～80歲的市民中隨機抽取1人，抽到“老年人”的概率為，

分析可知X的所有可能取值為0,1,2,3，

P(X＝0)＝，

P(X＝1)＝，

P(X＝2)＝，

P(X＝3)＝．

所以X的分布列為

X	0	1	2	3
P

EX＝0×＋1×＋2×＋3×＝．