Question

已知點F₁、F₂分別是雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦點，過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABF₂為銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是（　　）

• A、（1，+∞）
• B、(1，

  3

  )
• C、（1，2）
• D、(1，1+

  2

  )

Answer 1

分析：由過F₁且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點可知△ABC為等腰三角形，所以△ABF₂為銳角三角形只要∠AF₂B為銳角即可，由此可知

b2

a

＜2c，從而能夠推導出該雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答：解：根據題意，易得AB=2

b2

a

，F₁F₂=2c，
由題設條件可知△ABF₂為等腰三角形，
只要∠AF₂B為銳角，即AF₁＜F₁F₂即可；
所以有

b2

a

＜2c，
即2ac＞c²-a²，
解出e∈(1，1+

2

)，
故選D．

點評：本題考查雙曲線的離心率和銳角三角形的判斷，在解題過程中要注意隱含條件的挖掘．