Question

平面內有四個點O、A、B、C，記

OA

=

a

，

OB

=

b

，

OC

=

c

，向量

a

、

b

、

c

 滿足

a

+

b

+λ

c

=0，其中λ為實數．
（1）若點C是線段AB的中點，求λ的值；
（2）當λ=1時，且

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=-1，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）利用向量的中點坐標公式即可求出；
（2）利用已知條件和向量的運算先證明

a

，

b

，

c

的模相等，再利用三角形的全等即可得到三角形的形狀．

解答：解：（1）∵點C是線段AB的中點，∴

OC

=

1

2

(

OA

+

OB

)，∴

a

+

b

-2

c

=

0

，又

a

+

b

+λ

c

=

0

，∴λ=-2．
（2）當λ=1時，則

a

+

b

+

c

=

0

，∴

b

=-(

a

+

c

)．
∵

a

•

b

=

b

•

c

，∴

b

•(

a

-

c

)=0，∴-(

a

+

c

)•(

a

-

c

)=0，∴

a

2=

c

2，∴|

a

|=|

c

|．
同理|

b

|=|

c

|．
由

a

•

b

=

b

•

c

=

c

•

a

=-1得＜

a

，

b

＞=＜

b

，

c

＞=＜

c

，

a

＞，
∴△OAB≌△OBC≌OCA，∴AB=BC=CA．
∴△ABC是等邊三角形．

點評：熟練掌握向量的中點坐標公式、向量的線性運算性質及其模的計算公式、三角形全等的判定是解題的關鍵．