Question

【題目】已知函數－2為自然對數的底數，)．

(1)若曲線在點處的切線與曲線至多有一個公共點時，求的取值范圍；

(2)當時，若函數有兩個零點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)；(2) .

【解析】

(1)求導函數,確定曲線在點處的切線,與聯立,利用根的判別式,即可得出結論;

(2)由得,構造新函數,求導函數,確定其單調性,可得最值,即可確定的取值范圍.

(1) ，所以切線斜率

又 ，∴曲線在點(1，0)處的切線方程為

由.

由 可知：

當Δ＝0時，即 或時，有一個公共點；

當Δ＜0時，即 時，沒有公共點．

所以所求的取值范圍為.

(2)，由，得，

令 ，則.

當x∈時，由，得.

所以 在上單調遞減，在[1，e]上單調遞增，

因此，由，

比較可知，所以，結合函數圖象可得，當 時，

函數 有兩個零點．

故所求 的取值范圍為.