Question

設(shè)點(diǎn)P在曲線y=

1

2

e^x上，點(diǎn)Q在曲線y=ln（2x）上，則|PQ|的最小值為（　　）

• A、1-ln 2
• B、

  2

  （1-ln 2）
• C、1+ln 2
• D、

  2

  （1+ln 2）

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,反函數(shù)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先，根據(jù)互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，得到：兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是y=x與y=

1

2

e^x上點(diǎn)的最小距離的2倍．然后，利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)y=

1

2

e^x上求解切點(diǎn)，使得它與直線y=x平行，最后借助于點(diǎn)到直線的距離公式，求解最小距離．

解答： 解：由題意知函數(shù)y=

1

2

e^x與y=ln（2x）互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng)，
兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是y=x與y=

1

2

e^x上點(diǎn)的最小距離的2倍．
設(shè)y=

1

2

e^x上點(diǎn)（x₀，y₀）處的切線與直線y=x平行，
則

1

2

e^x₀=1，
∴x₀=ln 2，y₀=1，
∴點(diǎn)（x₀，y₀）到y(tǒng)=x的距離為

|ln2-1|

2

=

2

2

（1-ln 2），
則|PQ|的最小值為

2

2

（1-ln 2）×2=

2

（1-ln 2）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了互為反函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，導(dǎo)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，屬于綜合性題目，難度中等．