Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）.以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是.

（1）求曲線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線交于點(diǎn)，求的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）曲線的普通方程為：；曲線的直角坐標(biāo)方程為：（2）的最小值為6，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為

【解析】

（1）利用消參法，消去參數(shù)，可把曲線的參數(shù)方程化為普通方程；通過極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，可將曲線的極坐標(biāo)方程化成直角坐標(biāo)方程；

（2）點(diǎn)是曲線上動(dòng)點(diǎn)，由的參數(shù)方程可表示出點(diǎn)坐標(biāo)，運(yùn)用點(diǎn)到直線距離公式求到直線的距離，再運(yùn)用輔助角公式化簡(jiǎn)即可得出答案.

（1）由曲線，可得：

兩式兩邊平方相加可得：曲線的普通方程為：.

由曲線得：，

即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為：.

（2）由（1）知橢圓與直線無公共點(diǎn)，

橢圓上的點(diǎn)到直線的距離為

，

當(dāng)時(shí)，的最小值為，

此時(shí)的最小值為6，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為.