Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，下列結論中錯誤的是（　　）

A．?x₀∈R，f（x₀）=0

B．函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形

C．若x₀是f（x）的極小值點，則f（x ）在區間（-∞，x₀）上單調遞減

D．若x₀是f（x）的極值點，則f′（x₀ ）=0

Answer 1

分析：對于A，對于三次函數f （x ）=x³+ax²+bx+c，由于當x→-∞時，y→-∞，當x→+∞時，y→+∞，故在區間（-∞，+∞）肯定存在零點；對于B：因為函數f （x ）=x³+ax²+bx+c，都可能經過中心對稱圖形的y=x³的圖象平移得到，故其函數y=f（x）的圖象是中心對稱圖形；對于C：采用取特殊函數的方法，若取a=-1，b=-1，c=0，則f（x）=x³-x²-x，利用導數研究其極值和單調性進行判斷；D：若x₀是f（x）的極值點，根據導數的意義，則f′（x₀ ）=0，正確．

解答：解：對于三次函數f （x ）=x³+ax²+bx+c，
A：由于當x→-∞時，y→-∞，當x→+∞時，y→+∞，
故?x₀∈R，f（x₀）=0，正確；
B：②∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=（-

2a

3

-x）³+a（-

2a

3

-x）²+b（-

2a

3

-x）+c+x³+ax²+bx+c=

4a3

27

-

2ab

3

+2c，
f（-

a

3

）=（-

a

3

）³+a（-

a

3

）²+b（-

a

3

）+c=

2a3

27

-

ab

3

+c，
∵f（-

2a

3

-x）+f（x）=2f（-

a

3

），
∴點P（-

a

3

，f（-

a

3

））為對稱中心，故B正確．
C：若取a=-1，b=-1，c=0，則f（x）=x³-x²-x，
對于f（x）=x³-x²-x，∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈（-∞，-

1

3

）∪（1，+∞）
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈（-

1

3

，1）
∴函數f（x）的單調增區間為：（-∞，-

1

3

），（1，+∞），減區間為：（-

1

3

，1），
故1是f（x）的極小值點，但f（x ）在區間（-∞，1）不是單調遞減，故錯；
D：若x₀是f（x）的極值點，根據導數的意義，則f′（x₀ ）=0，正確．
故選C．

點評：本題考查了導數在求函數極值中的應用，利用導數求函數的單調區間，及導數的運算．