Question

(文)已知函數f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c圖像上的點P(1，－2)處的切線方程為y＝－3x＋1.

(1)若函數f(x)在x＝－2時有極值，求f(x)的表達式；

(2)函數f(x)在區間[－2,0]上單調遞增，求實數b的取值范圍.

Answer 1

　　f(x)＝－x³－2x²＋4x－3.　　

解析:

[4＋∞).

(文)f′(x)＝－3x²＋2ax＋b，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2分

因為函數f(x)在x＝1處的切線斜率為－3，

所以f′(1)＝－3＋2a＋b＝－3，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1分                

又f(1)＝－1＋a＋b＋c＝－2得a＋b＋c＝－1. 　　　　　　　　　　　　　　2分

(1)函數f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝－12－4a＋b＝0　　　　　　　3分

解得a＝－2，b＝4，c＝－3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　5分

所以f(x)＝－x³－2x²＋4x－3.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　6分

(2)因為函數f(x)在區間[－2,0]上單調遞增，所以導函數f′(x)＝－3x²－bx＋b在區間[－2,0]上的值恒大于或等于零，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　8分

則，得b≥4，　　　　　　　　　　　　　　　10分

所以實數b的取值范圍為[4＋∞).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　12分