Question

已知f （x）=2sin（x+

θ

2

）cos（x+

θ

2

）+2

3

cos²（x+

θ

2

）-

3

．
（1）化簡f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函數f （x）為偶函數；
（3）在（2）成立的條件下，求滿足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

Answer 1

分析：（1）把函數解析式第一項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第二項利用二倍角的余弦函數公式化簡，合并整理后，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，即為函數解析式的最簡形式；
（2）把函數解析式中的x化為-x，確定出f（-x）的解析式，根據偶函數的性質f（-x）=f（x），列出關系式，利用正弦函數的奇偶性以及兩角和與差的正弦函數公式化簡，整理后可得cos（θ+

π

3

）=0，根據θ的范圍，利用特殊角的三角函數值即可求出滿足題意θ的度數；
（3）把第二問求出θ的度數代入到函數解析式中，并根據f（x）=1，利用誘導公式化簡，可求出cos2x的值，由x的范圍，利用余弦函數的圖象與性質及特殊角的三角函數值，即可求出滿足題意x的集合．

解答：解：（1）f（x）=sin（2x+θ）+2

3

×

1+cos(2x+θ)

2

-

3

=sin（2x+θ）+

3

cos（2x+θ）
=2sin（2x+θ+

π

3

）；
（2）要使f （x）為偶函數，則必有f（-x）=f（x），
∴2sin（-2x+θ+

π

3

）=2sin（2x+θ+

π

3

），即-sin[2x-（θ+

π

3

）]=sin（2x+θ+

π

3

），
整理得：-sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）=sin2xcos（θ+

π

3

）+cos2xsin（θ+

π

3

）
即2sin2xcos（θ+

π

3

）=0對x∈R恒成立，
∴cos（θ+

π

3

）=0，又0≤θ≤π，
則θ=

π

6

；
（3）當θ=

π

6

時，f（x）=2sin（2x+

π

2

）=2cos2x=1，
∴cos2x=

1

2

，
∵x∈[-π，π]，
∴x=±

π

6

，
則x的集合為{x|x=±

π

6

}．

點評：此題考查了三角函數的化簡求值，以及正弦函數的奇偶性，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，余弦函數的圖象與性質，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．