Question

若函數y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區間[-1，1]上的最大值為7，則a=

2或

1

2

．

Answer 1

分析：由已知中函數y=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在區間[-1，1]上的最大值是7，我們利用換元法，及二次函數的性質，我們易構造關于a的方程，解方程即可得到答案．

解答：解：令t=a^x，則t＞0，則y=a^2x+2a^x-1=t²+2t-1=（t+1）² -2 （t＞0）．
當0＜a＜1時，∵x∈[-1，1]，∴a≤t≤

1

a

，此時f（t）在[a，

1

a

]上單調遞增，
則y_max=f（

1

a

）=

1

a2

+

2

a

-1=7，解得：

1

a

=2，或

1

a

=-4（舍）∴a=

1

2

．
當a＞1時，∵x∈[-1，1]，∴

1

a

≤t≤a，此時f（t）在[

1

a

，a]上單調遞增，
則y_max=f（a）=a²+2a-1=7，解得：a=2，或a=-4（舍），∴a=2．
綜上：a=

1

2

，或a=2，
故答案為

1

2

或 2．

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，指數函數的值域，二次函數的單調性，其中利用換元法將已知中的函數化為二次函數是解答本題的關鍵，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．