Question

如圖，正四棱錐S-ABCD 的底面是邊長為a正方形，O為底面對角線交點，側棱長是底面邊長的

2

倍，P為側棱SD上的點．
（Ⅰ）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）若SD⊥平面PAC，F為SD中點，求證：BF∥平面PAC；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，側棱SC上是否存在一點E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接SO，證明AC⊥BD 且SO⊥AC，從而證明AC⊥平面SBD，從而證明AC⊥SD．
（Ⅱ）連接OP，證明 OP⊥SD，BF⊥SD，從而證明OP∥BF，從而證明BF∥平面PAC．
（Ⅲ）假設存在E，使得BE∥平面PAC，過F作FE∥PC交 SC于E，則E為所要求點．先證明平面BEF∥平面PAC，從而BE∥平面PAC，

SE

EC

=

SF

FP

=

2

1

．故當

SE

EC

=2 時，BE∥平面PAC．

解答：證明：如圖，（Ⅰ）連接SO，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD，且 O是平行四邊形 ABCD的中心．（1分）
又∵SA=SC，∴SO⊥AC． （2分）
又∵SO∩BD=0，∴AC⊥平面SBD．（3分）
又∵SD?平面SBD，∴AC⊥SD．（4分）
（Ⅱ）連接OP，∵SD⊥平面ACP，OP?平面ACP，∴OP⊥SD．（5分）
又△SBD中，BD=

2

a=SB，F為SD的中點，∴BF⊥SD，（6分）
因為OP、BF?平面BDF，所以OP∥BF． （7分）
又∵OP?平面ACP，BD?平面ACP，
∴BF∥平面PAC．（8分）
（Ⅲ）解：存在E，使得BE∥平面PAC．
過F作FE∥PC交 SC于E，連接BE，則E為所要求點．
∵FE∥PC，FE?平面ACP，PC?平面ACP，∴FE∥平面PAC．
由（Ⅱ）知：BF∥平面PAC，而FE∩BF=F，∴平面BEF∥平面PAC． （10分）
∴BE∥平面PAC
∵OP∥BF，O為BD中點，∴P為FD中點．
又因為F為SD中點，
∴

SE

EC

=

SF

FP

=

2

1

．     （12分）
所以，在側棱SC上存在點E，當

SE

EC

=2 時，BE∥平面PAC．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定，空間中直線和直線的位置關系的應用，屬于中檔題．