Question

已知函數(shù)f（x）的定義域[-1，5]，部分對應值如表，f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示

x	-1	0	2	4	5
F（x）	1	2	1.5	2	1

下列關于函數(shù)f（x）的命題；
①函數(shù)f（x）的值域為[1，2]；
②函數(shù)f（x）在[0，2]上是減函數(shù)
③如果當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，那么t的最大值為4；
④當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個零點．
其中正確命題的序號是

①②④

．

Answer 1

分析：由導函數(shù)的圖象得出單調性和極值點，再由對應值表得出極值和最值，進而得出函數(shù)的值域，并畫出圖象．即可判斷出答案．

解答：解：由f（x）的導函數(shù)y=f′（x）的圖象可看出：如表格，
由表格可知：函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0）上單調遞增，在區(qū)間（0，2）上單調遞減，在區(qū)間（2，4）上單調遞增，在區(qū)間（4，5]上單調遞增．∴②正確．
∴函數(shù)f（x）在x=0和x=4時，分別取得極大值，在x=2時取得極小值，且由對應值表f（0）=2，f（2）=1.5，
f（4）=2，又f（-1）=1，f（5）=1．
∴函數(shù)f（x）的值域為[1，2]．∴①正確．
根據(jù)已知的對應值表及表格畫出圖象如下圖：
③根據(jù)以上知識可得：當x∈[-1，t]時，f（x）的最大值是2，則t=0，或4．故③不正確．
④由圖象可以看出：當1.5＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點；當a=2時，函數(shù)y=f（x）-a有2個
3零點；當a=1.5時，函數(shù)y=f（x）-a有3個零點；當1≤a＜1.5時，函數(shù)y=f（x）-a有4個零點；
∴當1＜a＜2時，函數(shù)y=f（x）-a最多有4個零點．故④正確．
綜上可知①②④正確．
故答案為①②④．

點評：由導函數(shù)的圖象和對應值表得出單調性、極值、最值及值域并畫出圖象是解題的關鍵．