Question

【題目】已知, .

（1）求函數的增區間；

（2）若函數有兩個零點，求實數的取值范圍，并說明理由；

（3）設正實數， 滿足，當時，求證：對任意的兩個正實數， 總有.

(參考求導公式： )

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析.

【解析】試題分析：(1)求導，對進行分類討論，可得函數的增區間；

（2）由（1）知：若函數在的上為增函數，函數有至多有一個零點，不合題意.

若 可知

要使得函數有兩個零點，則

以下證明函數有兩個零點即可

（3）證明：不妨設，以為變量

令，

則

可以證明 ，所以在單調遞增；因為所以

這樣就證明了

試題解析：(1)由已知，令，

當時， ，函數的增區間

若 令，

函數的增區間為

綜合以上：當時，函數的增區間；若增區間為

（2）由（1）知：若函數在的上為增函數，函數有至多有一個零點，不合題意。

若 當， ，函數在的上為減函數

當 ，函數在的上為增函數

要使得函數有兩個零點，則

下證明： 函數有兩個零點

而，所以在存在惟一零點；

又

令 所以在上遞增，

所以的 所以在也存在惟一零點；

綜上： 函數有兩個零點

方法2：(先證： 有)

而

，所以在也存在惟一零點；

綜上： ，函數有兩個零點。

（3）證明：不妨設，以為變量

令，

則

令，則

因為，所以；即在定義域內遞增。

又因為且所以即，所以；又因為，所以

所以在單調遞增；因為所以

即