Question

已知常數、、都是實數，函數的導函數為，的解集為．

（Ⅰ）若的極大值等于，求的極小值；

（Ⅱ）設不等式的解集為集合，當時，函數只有一個零點，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）當或時，函數在上只有一個零點.

【解析】

試題分析：：1.第（Ⅰ）的解答還是要破費周折的.首先要求出導函數.

然后根據的解集為，通過解混合組,得到進而得到.接下來通過研究函數的單調性，由的極大值等于，可解得，這樣就可以求出的極小值.2.第（Ⅱ）問先由不等式的解集為集合，可以解得.然后研究的單調性，值得注意的是，換句話說方程兩邊對求導數，、應看作是常數.單調性弄清楚后，還要比較、的大小.然后根據只有一個零點，列出或，最后解之即可.值得注意的是，很多考生漏了.

試題解析：（Ⅰ）∵，∴.

∵不等式的解集為，

∴不等式的解集為.

∴即 

∴，.

∴當或時，，即為單調遞減函數；

當時，，即為單調遞增函數.

∴當時，取得極大值，當時，取得極小值.

由已知得，解得.

∴.

∴的極小值.

（Ⅱ）∵，，，

∴，解得，即.

∵，∴.

∴當或時，，即為單調遞減函數；

當時，，即為單調遞增函數.

∴當時，為單調遞減函數；

當時，為單調遞增函數.

∵，

，，

∴.

∴在上只有一個零點或.

由得；

由，即，得.

∴實數的取值范圍為或.

∴當或時，函數在上只有一個零點.

考點：本題通過導數綜合考查函數的單調性、極值、零點、比較大小等知識.