Question

（本小題滿分14分）已知函數對于任意都有且當時，有。

（1）   判斷的奇偶性與單調性，并證明你的結論；

（2）   設不等式對于一切恒成立，求整數的最小值。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）令，得，解得

令得，

所以，是奇函數。                               ………………………3分

設，則，由條件得，

因此，

所以，在上為減函數。                 ………………………6分

（2）由，得，因此，，所以原不等式可化為；

①當時，由數學歸納法可證得

下面用數學歸納法證明。（）

ⅰ。當時，左邊==右邊，等式成立。

ⅱ。假設時等式成立，即。

    當時，

   這說明當時等式也成立。

   根據ⅰ、ⅱ可知，對任意，均有成立。

②當時，式顯示成立；

③當時，由奇函數性質可證明式也成立；

所以，有，

由單調性得，對于恒成立。………………10分

解法一：由恒成立，令。

由基本不等式可得，因此，

又由，得。                                   ………………14分

解法二：設，

對于恒成立。

①若，此時無解；

②若。

③若。

綜上可得：又，所以。               ………………14分

解法三:由已知易得，令，得，因此，即，又由于可取到，所以。                             ………………14分

 

【解析】略