Question

2009年5月11日，中國內地出現首例輸入性甲型H1N1流感疑似病例．中國進入防控甲型H1N1流感的關鍵時期，到目前為止，中國在防控方面取得了令人滿意的成績．據統計：公眾對我國防控甲型H1N1流感的滿意率p，（不滿意率為q，p+q=1），現隨機從人群中抽出n個人調查對我國防控甲型H1N1流感的滿意度，用隨機變量x表示調查的這些人中的不滿意的人數．
（1）當n=3，p=0.9，列出隨機變量X的分布列，并求出隨機變量x的數學期望E（X）．
（2）試證明：E（X）=nq．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意得每次試驗中，事件發生的概率是相同的，各次試驗中的事件是相互獨立的，每次試驗只要兩種結果，要么發生要么不發生，隨機變量是這3次獨立重復試驗中實件發生的次數．根據公式得到分布列．
（2）任取一個發生n次的獨立重復試驗，因滿足二項分布得到分布列，設出成功概率是p，不成功概率是q，根據一般求期望的方法，得到期望的表示式，根據二項式系數的性質得到結果．
解答：（1）解：由題意得：每次試驗中，事件發生的概率是相同的，
各次試驗中的事件是相互獨立的，每次試驗只要兩種結果，要么發生要么不發生，
隨機變量是這3次獨立重復試驗中實件發生的次數．∴X的取值是0、1、2、3
∴X的分布列是

故E（X）=3×0.9=2.7．
（2）證明：任取一個發生n次的獨立重復試驗，因滿足二項分布得到分布列

∴E（X）=1×C_n¹p^n-1q+2×C_n²p^n-2q²+…n×C_nⁿqⁿ
=nq（C_n-1p^n-1+C_n-1¹p^n-2q+…+C_n-1^n-1q^n-1）
=nq（p+q）^n-1
=nq
點評：解決離散型隨機變量分布列問題時，主要依據概率的有關概念和運算，同時還要注意題目中離散型隨機變量服從什么分布，若服從特殊的分布則運算要簡單的多．