Question

【題目】有9名學生在同一間教室參加一次數學競賽，座位排列成3行3列，用的方格棋盤表示，其中，每個方格代表一個座位為了避免舞弊，采用A、B、C三種類型的試卷，要使任何兩個相鄰的座位（有公共邊的兩個方格）發放的試卷類型不同．則符合條件的發放試卷的方法共有________種．

Answer 1

【答案】246

【解析】

用表示位于第i行第j列的方格，先考慮發放A型試卷的方法數．

令，．

考慮M中的格上試卷的類型，有如下幾種情形．

（1）都是B型試卷，此時，M中的格上試卷有唯一發放方法，N中的格上試卷都有2種發放方法，共有種發放方法．

（2）都是C型試卷，同（1），共有種發放方法．

（3）有1格是B型試卷，3格是C型試卷（如圖），此時，M中選擇一格發放B型試卷，有4種方法，M中其他格上試卷有唯一發放方法，N中的格上試卷都有種發放方法，共有種放方法．

（4）有1格是C型試卷，3格是B型試卷，同（3），共有種發放方法．

（5）有2格是B型試卷，2格是C型試卷，此時，若2個發放B型試卷的格同行（或列）（如圖（甲）），則在M中選擇發放B型試卷的格有2種方法，M中其他格上試卷有唯一發放方法，N中的格上試卷只有唯一發放方法，共有2種發放方法；若2個發放B型試卷的格不同行也不同列（如圖（乙）），則在M中選擇發放B型試卷的格有4種方法，M中其他格上試卷有唯一發放方法，N中的格上試卷有種發放方法，共有種發放方法．于是，此種情況共有種發放方法．

由對稱性，所有符合要求的發放試卷的方法數為種．