【題目】設點
，
的坐標分別為
，
，直線
和
相交于點
，且和的斜率之差是1.
（1）求點的軌跡
的方程；
（2）過軌跡上的點
，
，作圓
：
的兩條切線，分別交
軸于點
，
.當
的面積最小時，求
的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）設出
點坐標，根據
和
的斜率之差是
列方程，化簡后求得點的軌跡
的方程.注意排除斜率不存在的情況.
（2）設出切線的斜率，由點斜式寫出切線方程，利用圓心
到切線的距離為
列方程，化簡后寫出關于切線
、
的斜率
，
的根與系數關系，求得
兩點的坐標，進而求得
的面積的表達式，化簡后利用基本不等式求得的面積的最小值以及此時對應
的值.
（1）設
，由題意得
.
化簡得點的軌跡的方程為：.
（2）由點
所引的切線方程必存在斜率，設為
.
則切線方程為
，即
.
其與
軸的交點為
，
而圓心到切線的距離
，
整理得：
①，
切線、的斜率分別為，，則，是方程①的兩根，
故
，
而切線與軸的交點為，故
，
，
又，
，
∴
，
將
代入得
，
而點
在上，故
，
∴
，
當且僅當
，即
時等號成立.
又
，∴
，
故當點坐標為
，時，
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，點
滿足方程
.
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）作曲線C關于
軸對稱的曲線，記為
，在曲線C上任取一點
，過點P作曲線C的切線l，若切線l與曲線交于A，B兩點，過點A，B分別作曲線的切線
，證明的交點必在曲線C上.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司生產的某批產品的銷售量
萬件（生產量與銷售量相等）與促銷費用
萬元滿足
（其中
，
為正常數）．已知生產該產品還需投入成本
萬元（不含促銷費用），產品的銷售價格定為
元
件．
（1）將該產品的利潤
萬元表示為促銷費用萬元的函數；
（2）促銷費用投入多少萬元時，該公司的利潤最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】有次水下考古活動中，潛水員需潛入水深為30米的水底進行作業，其用氧量包含以下三個方面：①下潛時，平均速度為每分鐘
米，每分鐘的用氧量為
升；②水底作業需要10分鐘，每分鐘的用氧量為0.3升；③返回水面時，速度為每分鐘
米，每分鐘用氧量為0.2升；設潛水員在此次考古活動中的總用氧量為
升；
（1）將表示為的函數；
（2）若
，求總用氧量的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
（
），右焦點
，點
在橢圓上；
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）是否存在過原點的直線l與橢圓C交于A、B兩點，且
？若存在，請求出所有符合要求的直線；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
是定義在
上的函數，記
，
的最大值為
.若存在
，滿足
，則稱一次函數
是的“逼近函數”，此時的稱為在上的“逼近確界”.
（1）驗證：
是
的“逼近函數”；
（2）已知
.若是的“逼近函數”，求
的值；
（3）已知
的逼近確界為
，求證：對任意常數，
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在
中，
，
，
分別為內角
，
，
的對邊，且滿
.
（1）求的大小；
（2）再在①
，②
，③
這三個條件中，選出兩個使唯一確定的條件補充在下面的問題中，并解答問題.若________，________，求的面積.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某農場規劃將果樹種在正方形的場地內.為了保護果樹不被風吹，決定在果樹的周圍種松樹. 在下圖里，你可以看到規劃種植果樹的列數(n)，果樹數量及松樹數量的規律：
（1）按此規律，n = 5時果樹數量及松樹數量分別為多少；并寫出果樹數量
，及松樹數量
關于n的表達式
（2）定義：
為
增加的速度；現農場想擴大種植面積，問：哪種樹增加的速度會更快？并說明理由
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