Question

求由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形面積．

 

Answer 1

【解析】(1)化整為零，插入等分點．

將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，用分點

，，…，把區(qū)間[0,1]等分成n個小區(qū)間，，…，，…，.簡寫作： (i＝1,2，…，n)．

每個小區(qū)間的長度為Δx＝－＝.

過各分點作x軸的垂線，把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，它們的面積分別記作：

ΔS1，ΔS2，…，ΔSi，…，ΔSn.

(2)以直代曲，估計誤差．

用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積．

在小區(qū)間上任取一點xi(i＝1,2，…，n)，

為了計算方便，取xi為小區(qū)間的左端點，用xi對應(yīng)的函數(shù)值f(xi)＝為一邊，以小區(qū)間長度Δx＝為鄰邊的小矩形面積近似代替第i個小曲邊梯形面積，可以近似地表示為：ΔSi≈f(xi)·Δx＝·(i＝1,2，…，n)．

(3)積零成整，精益求精．

因為每一個小矩形的面積都可以作為相應(yīng)的小曲邊梯形面積的近似值，所以n個小矩形面積的和，就是曲邊梯形面積S的近似值．即：

S＝i≈ (xi)Δx＝＝－.①

當(dāng)分點數(shù)目越多，即Δx越小時，和式①的值就越接近曲邊梯形的面積S.因此，當(dāng)n趨于＋∞時，即Δx趨于0時，和式①的極限值就是所求曲邊梯形的面積．

Δx趨于0時，S趨于－(負(fù)號表示圖象在x軸下方)．所以，由直線x＝0，x＝1，y＝0和曲線y＝x(x－1)圍成的圖形的面積是.