Question

如圖，在直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=4

3

，∠ACB=90°，AA₁=2，E、F分別是AC、AB的中點，過直線EF作棱柱的截面，若截面與平面ABC所成的二面角的大小為60°，則截面的面積為

20

3

或

28

3

（對一個給2分）

．

Answer 1

分析：根據截面與平面ABC所成的二面角的大小為60°，故需要分類討論，利用截面為梯形，可以計算各邊長，從而可求截面的面積．

解答：解：由題意，分類討論：
如右圖，截面為MNFE，延長EM，CN，AA₁，交于點D
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，E、F分別是AC、AB的中點
∴DE⊥EF
∴∠AED為截面與平面ABC所成的二面角
∴∠AED=60°
∵AE=

1

2

AC=2

3

∴DE=4

3

∵EF=

1

2

BC=2

3

∴S△DEF=

1

2

×4

3

×2

3

=12
∵DA=6，∴DA1=

2

3

DA
∴SDMN=

4

9

S△DEF=

16

3

∴截面的面積為12-

16

3

=

20

3

設截面EFN'M'在底面中的射影為EFPQ，則EF=2

3

，M'Q=2，CE=2

3

，∠M'EQ=60°
∴EQ=

2

3

3

∴PQ=

8

3

3

∴射影EFPQ的面積為

1

2

×(2

3

+

8

3

3

)×

2

3

3

=

14

3

∵截面與平面ABC所成的二面角的大小為60°
∴截面EFN'M'的面積為

14

3

÷cos60°=

28

3

故答案為：

20

3

或

28

3

點評：本題以直三棱柱為載體，考查截面面積的計算，搞清截面圖形是解題的關鍵．