如圖，斜率為1的直線過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點，與拋物線交于兩點A,B，M為拋物線弧AB上的動點．
（1）若｜AB｜＝8，求拋物線的方程；
（2）求
的最大值
（1）
；（2）
.
解析試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程及性質、點到直線的距離、兩點間距離公式、韋達定理等數學知識，考查學生分析問題解決問題的能力和計算能力，考查數形結合思想.第一問，由已知條件得到直線AB的方程與拋物線聯立，消參得到關于x的方程，求出兩根之和，由拋物線的定義得|AB|的值，從而求出P的值；第二問，直線與拋物線聯立消去x，解出y，設出M點坐標，則可得到
的取值范圍，利用點到直線的距離公式列出距離，由于點在直線上方，所以
，再化簡距離的表達式，通過配方求最值，從而得到M點坐標，即可得到
的面積.
試題解析：(1)由條件知lAB：
，則
，消去y得
，則x1＋x2＝3p，由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p.
又因為|AB|＝8，即p＝2，則拋物線的方程為.(5分)
(2)由(1)知|AB|＝4p，且lAB：，
，消x得：
，即
，
設
，則
，
M到AB的距離
，因為點M在直線AB的上方，所以，
所以
，
當
時，
.
則
.(12分)
考點：1.拋物線的標準方程及性質；2.點到直線的距離；3.兩點間距離公式.
科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓C的方程為
＋y2＝1，A、B是四條直線x＝±2，y＝±1所圍成的矩形的兩個頂點．
(1)設P是橢圓C上任意一點，若
＝m
＋n
，求證：動點Q(m，n)在定圓上運動，并求出定圓的方程；
(2)若M、N是橢圓C上兩個動點，且直線OM、ON的斜率之積等于直線OA、OB的斜率之積，試探求△OMN的面積是否為定值，并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，正方形ABCD內接于橢圓
＝1(a＞b＞0)，且它的四條邊與坐標軸平行，正方形MNPQ的頂點M、N在橢圓上，頂點P、Q在正方形的邊AB上，且A、M都在第一象限．
(1)若正方形ABCD的邊長為4，且與y軸交于E、F兩點，正方形MNPQ的邊長為2.
①求證：直線AM與△ABE的外接圓相切；
②求橢圓的標準方程；
(2)設橢圓的離心率為e，直線AM的斜率為k，求證：2e2－k是定值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
是否同時存在滿足下列條件的雙曲線，若存在，求出其方程，若不存在，說明理由．
（1）焦點在
軸上的雙曲線漸近線方程為
；
（2）點
到雙曲線上動點
的距離最小值為
．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
的離心率為
，短軸長是2．
（1）求a，b的值；
（2）設橢圓C的下頂點為D，過點D作兩條互相垂直的直線l1，l2，這兩條直線與橢圓C的另一個交點分別為M，N．設l1的斜率為k(k≠0)，△DMN的面積為S，當
時，求k的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C:
+
=1(a>b>0),左、右兩個焦點分別為F1,F2,上頂點A(0,b),△AF1F2為正三角形且周長為6.
(1)求橢圓C的標準方程及離心率;
(2)O為坐標原點,P是直線F1A上的一個動點,求|PF2|+|PO|的最小值,并求出此時點P的坐標.
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、
的四個端點都在橢圓
上，其中，直線
，直線
．
，
，求
的值；
變化時，恒有
的離心率是
，它被直線
截得的弦長是
，求橢圓的方程．