Question

設{a_n}是首項為a，公差為d的等差數列(d≠0)，S_n是其前n項和．記b_n＝，n∈N^*，其中c為實數．
(1)若c＝0，且b₁，b₂，b₄成等比數列，證明：S_nk＝n²S_k(k，n∈N^*)；
(2)若{b_n}是等差數列，證明：c＝0.

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

∵{a_n}是首項為a，公差為d的等差數列(d≠0)，S_n是其前n項和，
∴S_n＝na＋d.
(1)∵c＝0，∴b_n＝＝a＋d.
∵b₁，b₂，b₄成等比數列，∴＝b₁b₄，
∴，∴ad－d²＝0，∴d＝0.
∵d≠0，∴a＝d，∴d＝2a，∴S_n＝na＋d＝na＋2a＝n²a，
∴左邊＝S_nk＝(nk)²a＝n²k²a，右邊＝n²S_k＝n²k²a，
∴左邊＝右邊，∴原式成立．
(2)∵{b_n}是等差數列，
∴設公差為d₁，
∴b_n＝b₁＋(n－1)d₁
代入b_n＝，得b₁＋(n－1)d₁＝，
∴n³＋n²＋cd₁n＝c(d₁－b₁)對n∈N^*恒成立，
∴ ∴d₁＝d.∵d≠0，∴d₁≠0.