Question

已知函數y=4^x-3•2^x+3，當其值域為[1，7]時，x的取值范圍是

（-∞，0]∪[1，2]

．

Answer 1

分析：令t=2^x（t＞0），可得y=t²-3t+3，由函數的值域為[1，7]，得1≤t²-3t+3≤7，解出0＜t≤1或2≤t≤4．再將t還原成2^x，最后解關于x的不等式，即可得到實數x的取值范圍．

解答：解：令t=2^x，可得y=4^x-3•2^x+3=t²-3t+3，（t＞0）
∵函數的值域為[1，7]，
∴解不等式1≤t²-3t+3≤7，可得

t2-3t+2≥0 t2-3t-4≤0

解此不等式組，得0＜t≤1或2≤t≤4
∴0＜2^x≤1或2≤2^x≤4，即0＜2^x≤2⁰或2¹≤2^x≤2²
因此，x的取值范圍是（-∞，0]∪[1，2]
故答案為：（-∞，0]∪[1，2]

點評：本題給出含有指數式的“類二次”函數，在已知值域的情況下求x的取值范圍，著重考查了指數函數、二次函數的圖象與性質和不等式的解法等知識，屬于中檔題．