Question

已知以點C（t，）（t∈R，t≠0）為圓心的圓與x軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．
（1）求證：△OAB的面積為定值；
（2）設直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，若OM=ON，求圓C的方程．

Answer 1

解：（1）∵圓C過原點O，
∴OC²=t²+，
則圓C的方程是（x-t）²+（y-）²=t²+，
令x=0，得y₁=0，y₂=，
令y=0，得x₁=0，x₂=2t
∴S_△OAB=OA×OB=×||×|2t|=4，
即：△OAB的面積為定值；
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分線段MN，
∵k_MN=-2，∴k_oc=，
∴直線OC的方程是y=x，
∴=t，解得：t=2或t=-2，
當t=2時，圓心C的坐標為（2，1），OC=，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=＜，
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點，
當t=-2時，圓心C的坐標為（-2，-1），OC=，
此時C到直線y=-2x+4的距離d=＞，
圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合題意舍去，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．
分析：（1）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標，表示出面積即可．
（2）通過題意解出OC的方程，解出t 的值，直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，圓的標準方程等有關知識，是中檔題．